2 ile Bölünebilme:
Bir sayının 2 ile tam olarak bölünebilmesi için* birler basamağının
0* 2* 4* 6* 8
sayılarından biri olması gerekir. Yani* her çift sayı 2 ile tam olarak bölünür. Bununla birlikte* tüm tek sayılar 2 ile bölündüğünde* kalan 1 olur.
3 ile Bölünebilme:
Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi için* sayının rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir. Bir sayının 3 e bölümünden kalan* rakamları toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir.
4 ile Bölünebilme:
Bir sayının 4 ile tam olarak bölünebilmesi için* sayının son iki basamağının
00 veya 4 ün katları
olması gerekir. Bir sayının 4 ile bölümündeki kalan* sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki kalana eşittir. Diğer taraftan* 4 ile tam olarak bölünebilen yıllar* artık yıl olarak isimlendirilir. Yani* artık yılların Şubat ayı 29 gün çeker. Dolayısıyla* 4 ile Bölünebilme* artık yılların bulunması kullanılabilir.
5 ile Bölünebilme:
Bir sayının 5 ile tam olarak bölünebilmesi için* sayının birler basamağının
0 veya 5
olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölümündeki kalan* sayının birler basamağının 5 e bölümündeki kalana eşittir.
6 ile Bölünebilme:
Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için* bu sayının hem 3 ile hem de 2 ile tam olarak bölünmesi gerekir. Yani* 6 ile bölünebilen bir sayının hem çift sayı olması hem de rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir.
7 ile Bölünebilme:
Bir sayının 7 ile tam olarak bölündüğünü tespit etmek için* sayının rakamlarının altına birler basamağından başla***** (sağdan sola doğru)
a b c d e f
2 3 1 2 3 1
- +
sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır:
( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k* m: tamsayı)
Sonuç* 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa* bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Şayet* m sıfırdan farklı bir tamsayı olursa* bu sayının 7 ile bölümünden kalan m olur. İşaretler de sağdan başla***** sırasıyla her üçlü için
+* -* +* -* +* -* +* ...
şeklinde olmalıdır. Bu kurala* (132) kuralı adı verilmektedir.
8 ile Bölünebilme:
Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için* sayının son üç basamağının
000 veya 8 in katı
olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan* sayının son üç basamağındaki sayının 8 e bölümündeki kalana eşittir.
9 ile Bölünebilme:
Bir sayının 9 ile tam olarak bölünebilmesi için* sayının rakamlarının toplamının 9 veya 9 un katları olması gerekir. Bir sayının 9 a bölümündeki kalan* sayının rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir.
10 ile Bölünebilme:
Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için* sayının birler basamağının sıfır olması gerekir. Bir sayının 10 a bölünmesiyle elde edilen kalan* sayının birler basamağındaki rakama eşittir.
11 ile Bölünebilme:
Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için* sayının rakamlarının altına birler basamağından başla***** sırasıyla
+* -* +* -* ...
işaretleri yazılır* artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır* genel toplamın da
0* 11 veya 11 in katları
olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan* artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki kalana eşittir.
12 ile Bölünebilme:
Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için* bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
15 ile Bölünebilme:
Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için* bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
18 ile Bölünebilme:
Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için* bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
24 ile Bölünebilme:
Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için* bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
25 ile Bölünebilme:
Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için* sayının son iki basamağının
00* 25* 50* 75
olması gerekir.
Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:
a ve b aralarında asal sayı ve
x = a . b
olsun. Şayet* bir sayı hem a ya hem de b ye bölünüyorsa* bu sayı x e de tam olarak bölünür.
ÖRNEKLER
Örnek 1:
Rakamları farklı 5 basamaklı 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için* X değerlerinin toplamı kaç olmalıdır?
Çözüm:
9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için* X in alabileceği değerler
0* 2* 4* 6* 8
olmalıdır. Oysa* bu sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden* X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla* X in alabileceği değerler
0* 6* 8
dir. Bu değerlerin toplamı
0 + 6 + 8 = 14
olur.
Örnek 2:
5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için* sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerektiğinden*
1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k
olmalıdır. Buradan*
16 + A = 3 . k
olur. Böylece* A
2* 5* 8
değerlerini alması gerekir. Dolayısıyla* bu değerlerin toplamı
2 + 5 + 8 = 15
olarak bulunur.
Örnek 3:
İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine göre*
m + n = 3 . k
olması gerekir. O halde* 32mn sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur:
3 + 2 + m + n = 5 + ( m + n )
= 5 + 3 . k
= 3 + 2 + 3 . k
= 2 + 3 . k
Dolayısıyla* Kalan = 2 dir.
Örnek 4:
Dört basamaklı 152X sayısının 4 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre* X in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi için* sayının son iki basamağının yani 2X in* 4 ün katları olması gerekir. O halde* X*
0* 4* 8 ... (1)
değerlerini alırsa* 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için* (1) nolu değerlere 2 ilave edilmelidir. Bu taktirde* X*
2* 6
değerlerini almalıdır. Dolayısıyla* bu değerlerin toplamı
2 + 6 = 8
olur.
Örnek 5:
666 + 5373
toplamının 4 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur:
66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup* kalan 2 dir.
5373 ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur:
73 ün 4 e bölümünden kalana eşit olup* kalan 1 dir.
Bu kalanlar toplanarak* toplamın kalanı
2 + 1 = 3
bulunur.
Örnek 6:
99999 . 23586 . 793423 . 458
çarpımının 5 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak için* birler basamağına bakılması gerekir ve birler basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla*
99999 sayısının 5 e bölümünden kalan 2 dir.
23586 sayısının 5 e bölümünden kalan 1 dir.
793423 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.
Bu kalanların çarpımı*
2 . 1 . 3 . 3 = 18
olur. 18 in 5 e bölümünden kalan ise* 3 tür.
Örnek 7:
Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 3m4n sayısı* 6 ile tam olarak bölündüğüne göre* m + n in en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için* sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
3m4n sayısının 2 ye tam olarak bölünebilmesi için* n nin
0* 2* 4* 6* 8
olması gerekir. m + n nin en büyük olması için* n = 8 olmalıdır. Böylece* 3m4n sayısı*
3m48
olur. 3m48 sayısının* aynı zamanda* 3 e bölünmesi gerektiğinden*
3 + m + 4 + 8 = m + 3
olur ve böylece m* şu değerleri alabilir:
0* 3* 6* 9
m + n nin en büyük olması için* m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla* m = 9 ve n = 8 için* m + n nin en büyük değeri*
m + n = 9 + 8 = 17
olur.
Örnek 8:
Beş basamaklı m362m sayısı* 7 ile tam bölündüğüne göre* m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
(132) kuralını kullanmalıyız.
m 3 6 2 m = ( m.1 + 2.3 + 6.2 ) - ( 3.1 + m.3 ) = m + 6 + 12 - 3 - 3m = - 2m + 15
3 1 2 3 1
- +
- 2m + 15 = 7.k
Buradan m = 4 olur.
Örnek 9:
458028 sayısının 8 e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için* sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalanına bakılmalıdır. Dolayısıyla* 28 sayısının 8 ile bölümündeki kalanı bulmalıyız.
28 in 8 ile bölümünden kalan 4 tür.
O halde* 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan* 4 tür.
Örnek 10:
10 basamaklı 4444444444 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Sayının rakamlarının toplamını alıp* 9 un katlarını atmalıyız.
Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40 dır. Buradan* 4 + 0 = 4 bulunur.
O halde* 4444444444 sayısının 9 a bölümündün kalan 4 tür.
Örnek 11:
Dört basamaklı 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre* m kaç olmalıdır?
Çözüm:
Bir sayının 10 a bölümünden kalanı bulmak için* birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler basamağındaki rakam kaç ise* kalan odur.
Bu nedenle* 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre* m = 3 olmalıdır.
Örnek 12:
Dokuz basamaklı 901288563 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
9 0 1 2 8 8 5 6 3
+ - + - + - + - +
Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) - ( 0 + 2 + 8 + 6 )
= 26 - 16
= 10
olarak bulunur.
Örnek 13:
Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için* m ve n nin hangi değerleri alması gerekir?
Çözüm:
Bir sayının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için* hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir.
Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için* sayının birler basamağının 0 olması gerekir. Dolayısıyla* n = 0 olmalıdır. Böylece* verilen sayı
5m230
olur.
Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi* sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerekir. Dolayısıyla*
5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k
m + 10 = 3.k
m = 2* 5* 8
olur. O halde* m = 2* 5* 8 ve n = 0 olmalıdır.
|
